Question

分别过椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)左右焦点F1.F2的动直线L1.L2相交于P点,与椭圆E分别交于A.B与C.D不同

四点,直线OA.OB.OC.OD的斜率k1.k2.k3.k4满足k1+k2=k3+k4.已知当L1与x轴重合时,|AB|=2根号3,|CD|=4根号3/2.
(1)求椭圆E的方程
(2)是否存在定点M.N使|PM|+|PN|为定值.若存在,求出M.N点坐标,若不存在,说明理由

Answer 1

郭敦顒回答：
因为，动直线L1.L2相交于P点,与椭圆E分别交于A.B与C.D不同；四点,直线OA.OB.OC.OD的斜率k1.k2.k3.k4满足k1+k2=k3+k4.已知当L1与x轴重合时,|AB|=2根号3,|CD|=4根号3/2.
在“已知当L1与x轴重合时,|AB|=2根号3,|CD|=4根号3/2. ”中，可能是“已知当L1与x轴重合时,|AB|=4根号3/2,|CD|=.2根号3 ”之误。以此作答。
所以，L1⊥L2于P，且点P在X轴上而且重合于原点（否则此题无解）。
(1)求椭圆E的方程
椭圆E: x ^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)
2a=|AB|=4√（3/2），4a²=24，a²=6；2b=|CD|=.2√3，4b²=12，b²=3
所以，椭圆E的方程是：x²/6+ y ²/3=1
(2)是否存在定点M.N使|PM|+|PN|为定值.若存在,求出M.N点坐标,若不存在,说明理由
存在定点M.N使|PM|+|PN|为定值。题中并没给M与N限制条件，所以M与N为坐标系内的两任意定点。
不妨将M与N分别定在椭圆E的左右焦点F1.F2上。
c²=6－3=3，c=√3
坐标：M（－√3，0），N（√3，0），即F1（－√3，0）.F2（√3，0）
注意，M与N上面的坐标是在特殊情况下的。

Answer 2

(x-5)^2+(y+18cotu)^2=18^2/sinu^2 随着u的变化，MN和圆心C都在，所以a=3 2 ，b2=a2-c2=18-16=2，所以椭圆E的方程为x2 18 +y2

。第二小题设p点（x，y）。求出p的轨迹是椭圆就可以了

Answer 3

(1)当L1和x轴重合时，k1=k2=0，所以k3+k4=k1+k2=0，即k3=-k4，所以OC和OD与x轴的夹角大小相等，方向相反，所以CD垂直x轴，所以C点和D点的x坐标为OF2=f(f为椭圆焦距)，C点和D点的纵坐标的绝对值为|CD|/2=√3/2(题中|CD|有误，这里不妨改之)；另外，当L1和x轴重合时，|AB|=2√3=2a，所以a=√3，所以f^2/3+3/(4b^2)=1，因为f^2=a^2-b^2，所以b=√(3/2)，所以椭圆方程为：x^2/3+2y^2/3=1，即x^2+2y^2=3。 (2)这样的定点不存在，如果存在P点点的轨迹必为椭圆。考察当P点在y轴上的情况，这时k1和k4互为相反数(大小相等，符号相反)，k2和k3互为相反数，如果满足k1+k2=k3+k4，L1和L2必须平行，这样L1和L2不能相交，或者说交点P在无穷远，所以这样的定点不存在。

Answer 4

第一小题L2肯定是垂直x轴，那题目数据恐怕有问题。第二小题设p点（x，y）。求出p的轨迹是椭圆就可以了