Question

问一些复变函数求积分的题。 1.C:0为中心，半径是1.求∮ z/((4z-π)(sinz)^2)dz

2.C:i为中心，半径是1. 求∮ z^11/(z^6-1)dz
3.C:0为中心，半径为6. 求∮ 1/((4z+π)tanz)dz
4.C:0为中心，半径为1 求∮ e^az/sin(z^2)dz
5.C:0,1,1+i，i，0围成的的正方形。求∮z/(1+z^4)dz

其实还有几道题，不过重要是想知道在分母里面有三角函数和z的高次幂的时候，怎么求这个积分。高次幂的柯西我倒是知道，但是在z的N次方加上什么东西的时候怎么办啊。。。

Answer 1

利用留数定理做，会很简单。留数定理是说如果f(z)在积分区域内存在z1~zn，n个孤立奇点，则∮Cf(z)dz=2πi∑Res(f(z),zi)，其中Res(f(z),zi)为f(z)在zi处的洛朗级数中(z-zi)^-1的系数
1、f(z)=z/((4z-π)(sinz)^2)，可知Res(f(z),0)=-1/π，Res(f(z),π/4)=π/8，所以第一题是(π^2-2)i
2、区域内的奇点有(1+√3)/2，(-1+√3)/2，计算得两处的留数为1/6，1/6，所以第二题为2πi/3
3、奇点为-π/4与0，留数为-1/4与1/π，结果是(4-π)i/2
4、等等给答案，这个我计算出了点问题，被积函数是e^(az)/sin(z^2)吗？
5、奇点为(1+i)/√2，留数是-i/4，结果是-π/2
复变几乎忘光了……我把资料粘在这儿，不过大概课本上也有写……http://wenku.baidu.com/view/4f9efddcd15abe23482f4d27.html