Question

已知a,b,c都是实数,求证:a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac

Answer 1

先证a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2等价于3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
即2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca（1）
因为（a-b)^>=0,所以a^2+b^2>=2ab
同理b^2+c^2>=2bc
c^2+a^2>=2ca
3式相加即证（1），故不等式a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2成立
再证1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac，即证a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca>=3ab+3bc+3ca
即a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca与(1)等价，故1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac也成立
综上，不等式a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac成立，等号都在a=b=c时取得。

另解：a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2等价于(a+b+c)/3<=[(a^2+b^2+c^2)/3]^(1/2)
这是An<=Qn即算术平均《=平方平均在n=3的特例
1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac等价于a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca这是排序不等式正序和>=乱序和
因此，原不等式成立。

Answer 2

先证a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2
即证a^2+b^2+c^2≥1/3(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)
即证2/3(a^2+b^2+c^2)≥2/3(ab+ac+bc)
即证a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc
两边同乘以2
即证（a^2+b^2）+（c^2+a^2）+（b^2+c^2）≥2ab+2ac+2bc
显然成立

再证1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac
即证1/3(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)≥ab+bc+ac
即证1/3(a^2+b^2+c^2)≥1/3（ab+ac+bc)
已证成立，得证

Answer 3

∵a^2+b^2≥2ab,b^2+c^2≥2bc,,a^2+c^2≥2ac
(a+b+c)^2 =a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤a²+b²+c²+a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2=3a²+3b²+3c²
∴a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2
∵（a^2+b^2）+（c^2+a^2）+（b^2+c^2）≥2ab+2ac+2bc
即a²+b²+c²≥ab+bc+ac
∴1/3(a+b+c)^2 =1/3(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)≥1/3(3ab+3bc+3ac)=ab+bc+ac
∴:a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac【证毕】