Question

关于x的方程x^2-(2m+1)x+2m^2+3m=0的两根都是整数，则实数m等于_______

关于x的方程x^2-(2m+1)x+2m^2+3m=0的两根都是整数，则实数m等于_______。（详细解答！谢谢！）

Answer 1

由题意有Δ≥0，即：（2m+1))^2-4(2m^2+3m)≥0，
得 （2m+2)^2≤5
-√5≤2m+2≤√5
关于x的方程x^2-(2m+1)x+2m^2+3m=0的两根都是整数,设为x1,x2
则x1+x2=2m+1也为整数
而-√5-1≤2m+1≤√5-1
所以2m+1=--3,-2,-1,0,1
此时m=-2,-3/2,-1,-1/2,0
经检验m==-2,-3/2,-1/2,0时原方程两根都为整数
所以m=-2,或-3/2,或-1/2,或0

追问

谢谢，不过为什么2m+1是整数？

追答

两根都是整数 整数加整数也是整数
而
x1+x2=2m+1
所以
2m+1是整数

Answer 2

设两个根是整数A，B，则A+B=2m+1，所以m是有理数，且最约分母是2或者1.

设m=k/2，k是整数
则A+B＝k+1
2A*B=k(k+3)
——k(k+3)=0则 m=0或者-3/2满足要求
——k(k+3)>0则
======k<-3, 令T＝-3-k >0, |A|+|B|=-1-k=T+2
2|A||B|=-k(-k-3)=T(T+3), 解得T＝1, m=k/2=-2
======k>0 无解
——k(k+3)<0， -3〈k〈0, 解得k=-2或者-1, m＝-1或者-0.5
汇总：m=-2, -1.5, -1, -0.5, 0

Answer 3

M=0很容易看到x*2-x=0两个根是0和1

追问

m=-3/2，-1/2不行吗？

追答

也可以，你题目有没有写漏什么条件？

追问

没有