Question

直线y=2x是△ABC中，∠c的平分线所在直线，若A,B坐标分别为A（-4,2），B（3,1）

1）求点c的坐标，并判断△ABC的形状

Answer 1

做AD、BE⊥直线y=2x（即2x-y=0）于D、E
|AD| = |2*(-4)-2|/√(2²+1²) = 2√5
|BE| = |2*3-1|/√(2²+1²) = √5

C在直线y=2x上，令C点坐标为（t，2t）
|AC|=√{(t+4)²+(2t-2)²}
|BC|=√{(t-3)²+(2t-1)²}

直线2x-y在C角平分线上
∴|AD|/|AC| = |BE|/|BC|
2√5/√{(t+4)²+(2t-2)²} = √5/√{(t-3)²+(2t-1)²}
√{(t+4)²+(2t-2)²} = 2√{(t-3)²+(2t-1)²}
{(t+4)²+(2t-2)²} = 4{(t-3)²+(2t-1)²}

Answer 2

自己画个草图（虽然C的位置不知道，随便画在直线y=2x上）
根据题意，可知
A、B到直线y=2x（2x-y=0)的距离分别为：
|2*(-4)-2|/√[2^2+(-1)^2]=2√5
|2*3-1|/√[2^2+(-1)^2]=√5

根据角平分线的特征，
AC/BC=2√5/√5=2，AC^2/BC^2=4
（也可以设AB交y=2x于点D，可以解得D 的坐标为（2/3,4/3），分别计算得AD=10/3 * √2、BD=5/3 *√2，AB=5√2，同样有AC/BC=2）
设C点坐标为（X,2X)
则有AC^2=（-4-x）^2+（2-2x）^2 = 5x^2 +20
BC^2=(3-x)^2 +(1-2x)^2 =5x^2 -10x +10
即 5x^2 +20=4*（5x^2 -10x +10），整理得3x^2 -8x +4=(3x-2)(x-2)=0
x=2 （ x=2/3，恰好在AB的连线上）
则C的坐标为（2，4）
AC^2=40，BC^2=10，
而AB^2=(-4-3)^2 +(2-1)^2=50，有AB^2=AC^2+BC^2，△ABC为直角三角形