Question

在圆中，半径为5，AB.CD是两条平行弦，且CD=8，AB=6，求弦AC的长

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Answer 1

过AB、CD两弦的中点M、N作弦EF，使E、F分别在NM的延长线、MN的延长线上。
显然，EF是直径，∴EF＝10。
由相交弦定理，有：EM（10－EM）＝BM^2＝9，∴EM^2－10EM＋9＝0，
∴（EM－1）（EM－9）＝0，∴EM＝1，或EM＝9。

再由相交弦定理，有：FN（10－FN）＝DN^2＝16，∴FN^2－10FN＋18＝0，
∴（FN－2）（FN－8）＝0，∴FN＝2，或FN＝8。

∵MN＞0，∴EM＝9是不合理的，应舍去。
∴EM＝1、FN＝2；或EM＝1、FN＝8。
∴MN＝7，或MN＝1。

过A作AG⊥CD交CD于G。
容易证得：AMNG是矩形，∴AG＝MN，∴AG＝7，或AG＝1。
显然有：CG＝（1/2）（CD－AB）＝（1/2）×（8－6）＝1。
∴AC＝√（CG^2＋AG^2）＝√（1＋49）＝5√2，或AC＝√（1＋1）＝√2。
∴满足条件的弦AC的长是 5√2，或√2。