Question

设n是正整数，证明8的2n+1次方+7的n+2次方之和是57的倍数。

不用杨辉三角公式解答

Answer 1

8^(2N+1)+7^(N+2)=8*8^(2N)+49*7^N=8*(64)^N+49*7^N
=8*(57+7)^N+49*7^N
根据杨辉三角公式(A+B)^N 展开项目的系数只有一项目不包括57,其为
7^N
所以8*(57+7)^N除以57的余数也就等于8*7^N除以 57的余数
所以8^(2N+1)+7^(N+2)除以57的余数也就等于8*7^N+49*7^N=57*7^N 除以57的余数
57*7^N 除以57,可以整除
所以8的2N+1次方与7的N+2次方之和为57的倍数

追问

这个答案我看到过了 可以解释杨辉三角公式么

追答

 

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 

 

2、第n行的数字个数为n个。 

 

3、第n行数字和为2^(n－1)。（2的（n-1）次方）

4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 　

5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和   是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。 

 

 

　　6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。 

 

　　7.两个未知数和的n次方运算后的各项系数依次为杨辉三角的第(n+1)行。