Question

怎么证明函数可微

Answer 1

由于偏导数在点M(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0, 

△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)

=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)] 

=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y 

=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y 

=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y 

而||≤|α|+|β|, 

所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),

即f(x,y)在点M可微。

扩展资料

设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数， o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。

AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。

得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为dy=f′(X)dX。

参考资料来源：百度百科-可微

Answer 2

若f(x)在x0处连续,且当a趋向于0时, [f(x+a)-f(x)]/a存在极限, 则称f(x)在x0处可导.若对于区间(a,b)上任意一点m,f(m)均可导,则称f(x)在(a,b)上可导.

追问

二元函数呢，？连续，可导，及可微分他们之间的关系是什么/?详细一点。谢谢。

追答

连续的定义是在某点x0的领域内函数有意义，并且
①x0的左极限和有极限都存在
②x0的左右极限相等 则说明在x0处连续，
如果整个定义域中的点都是这样的，那函数在整个定义域都是连续的

可导和可微 在中学没区别的

连续的不一定可导 ，比如y=|x| 连续，但在0处不可导
可导一定连续