Question

证明1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，谢谢

Answer 1

　方法一：利用立方差公式
　　　　n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n

　　　　2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
　　　　3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
　　　　4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
　　　　......
　　　　n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

　　　　各等式全相加
　　　　n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

　　　　n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

　　　　n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

　　　　n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

　　　　3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1)

　　　　1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　　　　方法二：另外一个很好玩的做法

　　　　想像一个有圆圈构成的正三角形，
　　　　第一行1个圈，圈内的数字为1
　　　　第二行2个圈，圈内的数字都为2，
　　　　以此类推
　　　　第n行n个圈，圈内的数字都为n，
　　　　我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
　　　　下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
　　　　再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
　　　　然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
　　　　我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
　　　　而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
　　　　1+2+……+n=n(n+1)/2
　　　　于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
　　　　r=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

记得好像是用了立方和的一些运算

Answer 3

这不需证明，这是平方和的公式！