Question

已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=1/2x2+1的形状相同，它的对称轴是x=-2，它与x轴的两个交点之间的距离为2.

求a,b,c的值

Answer 1

∵y=ax²+bx+c的形状与抛物线y=（1/2）x²+1相同
∴二次项系数相同，∴a=1/2
∴y=（1/2）x²+bx+c
∵对称轴x=-2，∴-b/(2×1/2) = -2，b=2
∴y=（1/2）x²+2x+c
∵与x轴两个交点间的距离为2
∴x1=-2-1=-3，x2=-2+1=-1
∴图像与x轴两交点的坐标（-3，0），（-1，0）
y=1/2(x+3)(x+1) = （1/2）x²+2x+3/2

Answer 2

解：
∵ 抛物线y=ax²+bx+c与抛物线y=1/2x²+1的形状相同
∴ |a|=1/2
∵ 抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为 x=-b/(2a)
∴-b/(2a)=-2
b=4a
∵方程ax²+bx+c=0的两根为x=[-b+√(b²-4ac)]/(2a) 和 [-b-√(b²-4ac)]/(2a)
∴ 抛物线与x轴两个交点的坐标分别为{ [-b+√(b²-4ac)]/(2a)，0}和{[-b-√(b²-4ac)]/(2a)，0}
∴ 两个交点之间的距离为：
|[-b+√(b²-4ac)]/(2a)-[-b-√(b²-4ac)]/(2a)|
=|2[√(b²-4ac)]/(2a)|
=√(b²-4ac)/|a|
∴ √(b²-4ac)/|a|=2
√(b²-4ac)=2|a|
b²-4ac=4a²
c=(b²-4a²)/(4a)

∴当a=1/2时：
b=4a=4×1/2=2
c=(b²-4a²)/(4a)=[2²-4×(1/2)²]/(4×1/2)=(4-1)/2=3/2

当a=-1/2时：
b=4a=4×(-1/2)=-2
c=(b²-4a²)/(4a)=[(-2)²-4×(-1/2)²]/[4×(-1/2)]=(4-1)/(-2)=-3/2

∴ 所求抛物线为y=1/2x²+2x+3/2 或 y=-1/2x²-2x-3/2

Answer 3

形状相同，所以a=1/2.y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)^2+c-b^2/2a，对称轴为x=-2，所以b/2a=2，b=2
令y=1/2(x+2)^2+c-4=0，可知x=-2±√(8-2c)，由这两点间距离为2能得出c=7/2.

Answer 4

因为形状相同，所以a=1\2，
根据负2a分之b=-2得，b=2
因为对称轴与交点之间的距离为2，所以有一交点是0，即c=0

题意不是那么清晰，所以不知道对不对。错了见谅。

Answer 5

解：
∵ 抛物线y=ax²+bx+c与抛物线y=1/2x²+1的形状相同
∴ |a|=1/2
∵ 抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为 x=-b/(2a)
∴-b/(2a)=-2
b=4a
∵方程ax²+bx+c=0的两根为x=[-b+√(b²-4ac)]/(2a) 和 [-b-√(b²-4ac)]/(2a)
∴ 抛物线与x轴两个交点的坐标分别为{ [-b+√(b²-4ac)]/(2a)，0}和{[-b-√(b²-4ac)]/(2a)，0}
∴ 两个交点之间的距离为：
|[-b+√(b²-4ac)]/(2a)-[-b-√(b²-4ac)]/(2a)|
=|2[√(b²-4ac)]/(2a)|
=√(b²-4ac)/|a|
∴ √(b²-4ac)/|a|=2
√(b²-4ac)=2|a|
b²-4ac=4a²
c=(b²-4a²)/(4a)

∴当a=1/2时：
b=4a=4×1/2=2
c=(b²-4a²)/(4a)=[2²-4×(1/2)²]/(4×1/2)=(4-1)/2=3/2

当a=-1/2时：
b=4a=4×(-1/2)=-2
c=(b²-4a²)/(4a)=[(-2)²-4×(-1/2)²]/[4×(-1/2)]=(4-1)/(-2)=-3/2

∴ 所求抛物线为y=1/2x²+2x+3/2 或 y=-1/2x²-2x-3/2