Question

已知f（x）=cos平方x+根号3sinxcosx+a,(x∈R,a∈R,a是常数),且f(π/6)=2。

已知f（x）=cos平方x+根号3sinxcosx+a,(x∈R,a∈R,a是常数),且f(π/6)=2。
（1）求a的值
（2）求使f（x）≥3/2的x的取值集合
（3）当x∈[0,π]时，求函数y=f（x）的单调递增区间。。。

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Answer 1

（1）f（x）=cos²x+根号3sinxcosx+a,且f(π/6)=2，
则cos²(π/6)+根号3sin(π/6)cos(π/6)+a=2，
3/4+√3*(1/2)*（√3/2）+a=2，
∴a=1/2.
（2）
f（x）=cos平方x+根号3sinxcosx+1/2
=(1+cos2x)/2+√3/2*sin2x+1/2
=√3/2*sin2x+ cos2x/2+1
=sin(2x+π/6)+1
f（x）≥3/2,即sin(2x+π/6)+1≥3/2,
sin(2x+π/6)≥1/2,
2kπ+π/6≤2x+π/6≤2kπ+5π/6，k∈Z,
kπ≤x≤kπ+π/3，k∈Z,
所以x的取值集合是{x| kπ≤x≤kπ+π/3，k∈Z }.
（3）
f（x）= sin(2x+π/6)+1,
2kπ-π/2≤2x+π/6≤2kπ+π/2，k∈Z,
kπ-π/3≤x≤kπ+π/6，k∈Z,
这是函数的单调递增区间，
当x∈[0,π]时，令k=0,1可得：
x∈[0,π/6], [2π/3,π]
∴当x∈[0,π]时，
函数y=f（x）的单调递增区间是[0,π/6], [2π/3,π].

追问

第二小题的 2kπ+π/6≤2x+π/6≤2kπ+5π/6，k∈Z,
是什么意思

追答

当正弦值≥1/2时，角的范围就是2kπ+π/6≤x≤2kπ+5π/6.

这里sin(2x+π/6)≥1/2,
所以有2kπ+π/6≤2x+π/6≤2kπ+5π/6，k∈Z,

追问

第三小题

当x∈[0,π]时，令k=0,1可得：
x∈[0,π/6], [2π/3,π]…………………………为什么k=0，1？？？

追答

因为x∈[0,π]，只有k=0,1时，kπ-π/3≤x≤kπ+π/6才能落入已知区间∈[0,π]，
k取其它值时，超出了[0,π]的范围。

Answer 2

解：（1）∵f(x)=根号3（2sinxcosx)+(2cosx^2x-1)+a
=根号3sin2x+cos2x+a
=2(根号3/2sin2x+1/2cos2x)+a
=2sin(2x+π/6）+a
f(π/6）=2sin(2π/6+π/6）+a=2
∴a=1/2