Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足：①图象过原点；②f（1-x）=f（1+x）；③g（x）=f（x）-x2是奇函数

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足：①图象过原点；②f（1-x）=f（1+x）；
③g（x）=f（x）-x2是奇函数．解答下列各题：
（1）求c；（2）证明：b=-2a；
（3）求f（x）的解析式．

只要(3)的详细步骤 谢谢！

Answer 1

c=0, b=-2a
(3). g(x)=f(x)-x^2=ax^2-2ax-x^2=(a-1)x^2-2ax
即 g(x)=(a-1)x^2-2ax
g(-x)=(a-1)x^2+2ax
-g(x)=-(a-1)x^2+2ax
因为 g（x）=f（x）-x2是奇函数，所以
（a-1)x^2+2ax=-(a-1)x^2+2ax
对任意实数x都成立，
得到（a-1)x^2=-(a-1)x^2
所以 （a-1)=-（a-1)
a-1=0
a=1.

Answer 2

条件1得：C=0.
条件2得：f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x)=ax^2-2ax+a+b-bx=ax^2+2ax+b+bx,推出 -2a-b=2a+b,推出b=-2a.
条件3得：g(x)=f(x)-x^2=ax^2-2ax-x^2, 因为：g(x)为奇函数，所以：g(x)=-g(-x).推出：ax^2-2ax-x^2=-ax^2-2ax+x^2推出：ax^2=x^2,a=1.
f(x)=x^2-2x.