Question

如何证明(1+1/x)^x的极限是e

Answer 1

令1/x=t，t趋向0，原极限=s=(1+t)^(1/t)

则lns=[ln(1+t)]/t=(罗比达法则，分子分母都求导)

=[1/(1+t)]/1，0代入得lns趋向1，故s趋向e

e对于自然数的特殊意义

所有大于2的2n形式的偶数存在以e为中心的共轭奇数组，每一组的和均为2n，而且至少存在一组是共轭素数。可以说是素数的中心轴，只是奇数的中心轴。

自然常数也和质数分布有关。有某个自然数a，则比它小的质数就大约有个。在a较小时，结果不太正确。但是随着a的增大，这个定理会越来越精确。这个定理叫素数定理，由高斯发现。

Answer 2

令1/x=t，t趋向0，原极限=S=(1+t)^(1/t)
则lnS=[ln(1+t)]/t=(罗比达法则，分子分母都求导)=[1/(1+t)]/1，0代入得lnS趋向1，故S趋向e。

Answer 3

事实是先证明lim (1+1/x)^x (x→无穷大) 存在，然后记这个值为e，就像把周长和直径的比值记为π一样。
证明过程见《数学分析》，此处从略。太长了。