Question

已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0)（1）若f(x)≤g(x),求实数a的取值范围（2）当a取（1）中最小值时，

求证：g(x)-f(x)≤1/6x的三次方

Answer 1

解：（Ⅰ） 由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），
所以h'（x）=cosx-a．
若a≥1，h'（x）=cosx-a≤0，
所以h（x）=sinx-ax在区间（-∞，0]上单调递减，即h（x）≤h（0）=0，
所以sinx≤ax（x≥0）成立． （3分）
若a＜1，存在x0∈(0，
π2)，使得cosx0=a，
所以x∈（0，x0），h'（x）=cosx-a＞0，
所以h（x）=sinx-ax在区间（0，x0）上单调递增，
所以存在x使得h（x）＞h（0）=0，即此时f（x）≤g（x）不恒成立，
所以a＜1不符合题意舍去．
综上，a≥1． （5分）
（Ⅱ）由题意可得：a=1，所以g（x）=x（x≥0），
所以（x）-g（x）=sinx-x（x≥0），
所以原不等式等价于sinx-x-
16x3≤0（x≥0），
设H(x)=x-sinx-
16x3 (x≥0)，所以H′(x)=1-cosx-
12x2．
令G(x)=1-cosx-
12x2，所以G'（x）=sinx-x，
所以G'（x）=sinx-x≤0（x≥0），
所以G(x)=1-cosx-
12x2在（0，+∞）上单调递减，（8分）
因此有：G(x)=1-cosx-
12x2≤G(0)=0，
即H′(x)=1-cosx-
12x2≤0，
所以H(x)=x-sinx-
16x3 (x≥0)单调递减，（10分）
所以H(x)=x-sinx-
16x3≤H(0)=0，
所以x-sinx-
16x3≤0（x≥0）恒成立，即x-sinx≤
16x3（x≥0）．

Answer 2

g(x)-f(x)≥0，ax-sinx≥0(x≥0),当x=0时ax-sinx=0符合条件，所以a取任意值；
当x>0时，a≥sinx/x,∵sinx/x<1∴a≥1。你这题目有问题，当x=0时a是任意值

Answer 3

第一题 分离参数 第二题即a=-1带入做

追问

我要具体的过程

追答

a<=sinx\x.求导右边。x=1所以a<=sin1 第二题是什么意思啊

追问

若a≤sin1,那么当a=sin1时，求证g(x）-f(x)≤(1/6)乘以x的三次方

追答

第一题刚才解错了 对不起a<=0 我用的是二次求导 第二题还是分离参数 最好自己做做