Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a,b,c属于R),满足下列条件：

1.x属于R时，f(x)的最小值是0，且f(x-1)=f(-x-1)成立；2.当x属于（0,5)时，x<=f(x)<=2|x-1|+1恒成立 。

(1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)求最大的实数m(m>1)使得存在实数t,当x属于[1,m]时，有f(x+t)<=x成立。
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Answer 1

1.x属于R时，f(x)的最小值是0-->说明抛物线开口向上,最低点在X轴上:a>0, 4ac-b^2=0
f(x-1)=f(-x-1)成立==>>表示:a(x-1)^2+b(x-1)+c=a(-x-1)^2+b(-x-1)+c==>b=2a
由上述可知:
4ac-b^2=4ac-4a^2=4a(c-a)=0,
a不等于0, 故c=a,
结合上述结果,有
a=b/2=c
f(1)=a(x^2+2x+1)=a(x+1)^2=a(1+1)^2=4a
f(x)=a(x+1)^2

2.当x属于（0,5)时，x<=f(x)<=2|x-1|+1恒成立
x<=a(x+1)^2<=2|x-1|+1
x<=a(x+1)^2<=2x-2+1
x<=a(x+1)^2<=2x-1
画出f(x)=x,f(x)=a(x+1)^2,f(x)=2x-1草图再求更加方便些,注意:画在同一坐标系下,然后再观察求解

Answer 2

.x属于R时，f(x)的最小值是0-->说明抛物线开口向上,最低点在X轴上:a>0, 4ac-b^2=0
f(x-1)=f(-x-1)成立==>>表示:a(x-1)^2+b(x-1)+c=a(-x-1)^2+b(-x-1)+c==>b=2a
由上述可知:
4ac-b^2=4ac-4a^2=4a(c-a)=0,
a不等于0, 故c=a,
结合上述结果,有
a=b/2=c
f(1)=a(x^2+2x+1)=a(x+1)^2=a(1+1)^2=4a
f(x)=a(x+1)^2

2.当x属于（0,5)时，x<=f(x)<=2|x-1|+1恒成立
x<=a(x+1)^2<=2|x-1|+1
x<=a(x+1)^2<=2x-2+1
x<=a(x+1)^2<=2x-1
画出f(x)=x,f(x)=a(x+1)^2,f(x)=2x-1草图再求更加方便些,注意:画在同一坐标系下,然后再观察求解
完整吧，原创

Answer 3

cement