Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2-12x在x=±2处取得极值

(1)求函数f(x)的解析式 （2）求证 对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1 x2 都有|f(x1)-f(x2)|<=32 (3) 若过点A（1，m）可作曲线y=f(x)的三条切线 求实数m的取值范围

Answer 1

解:(1)因为f'(x)=3ax^2+2bx-12,而函数f(x)在x=±2处取得极值则有:方程f(x)=0的两个根为x=±2,所以b=0,a=1,所以函数的解析式为f(x)=x^3-12x
(2)由(1)可知:f'(x)=3x^2-12,而f'(x)<0时,-2<=x<=2,即在区间[-2,2]上函数f(x)为单调减函数,故|f(x1)-f(x2)|<=f(x)max-f(x)min=f(-2)-f(2)=32
(3)设在函数f(x)上点(t,t^3-12t)处的切线为y-(t^3-12t)=(3t^2-12)(x-t)
则此切线过点A,故有:m=-2t^3+3t^2-12
若过点A（1，m）可作曲线y=f(x)的三条切线
则函数g(t)=-2t^3+3t^2-12与y=m有三个交点
而函数函数g'(t)=-6t^2+6t=0可解得t1=0 t2=1,所以g(0)=-12,g(1)=-11
因为函数g(t)在t1=0处取得极小值,在t2=1处取得极大值,所以m的取值范围为(-12,-11)