Question

已知正整数x1,x2及函数f(x)满足4^x=[1+f(x)]/[1-f(x)],且f(x1)+f(x2)=1，求f(x1+x2)的最小值

Answer 1

4^x=[1+f(x)]/[1-f(x)]，整理，得
f(x)=(4^x -1)/(4^x +1)=(4^x +1-2)/(4^x +1)=1 -2/(4^x +1)
f(x1)+f(x2)
=1-2/(4^x1 +1)+1-2/(4^x2 +1)
=2-2/(4^x1 +1)-2/(4^x2 +1)
x1，x2均为正整数，x1≥1，x2≥1
4^x1≥4^1=4 4^x1 +1≥5 0<2/(4^x1 +1)≤2/5
4^x2≥4^1=4 4^x2 +1≥5 0<2/(4^x2 +1)≤2/5
2-2/(4^x1 +1)-2/(4^x2 +1)≥2-2/5-2/5=6/5>1，已知等式f(x1)+f(x2)=1恒不成立。
题目出错了。

追问

是正实数，我打错了，呵呵

追答

4^x=[1+f(x)]/[1-f(x)]，整理，得
f(x)=(4^x -1)/(4^x +1)=(4^x +1-2)/(4^x +1)=1 -2/(4^x +1)

f(x1)+f(x2)
=1-2/(4^x1 +1)+1-2/(4^x2 +1)
=2-2/(4^x1 +1)-2/(4^x2 +1)=1
2/(4^x1 +1) + 2/(4^x2 +1)=1
2(4^x2 +1)+2(4^x1 +1)=(4^x1+1)(4^x2 +1)
4^(x1+x2)=4^x1 +4^x2 +3
f(x1+x2)=1- 2/[4^(x1+x2) +1]=1-2/(4^x1+4^x2 +4)
由均值不等式得，当4^x1=4^x2时，4^x1+4^x2取得最小值，此时4^x1+4^x2+4取得最小值，2/(4^x1+4^x2+4)取得最大值，1-2/(4^x1+4^x2+4)取得最小值。
f(x1)+f(x2)=2f(x1)=2[1-2/(4^x1 +1)]=1
整理，得
4^x1=3
即当4^x1=4^x2=3时，f(x1+x2)取得最小值。
[f(x1+x2)]min= 1-2/(3+3+4)=4/5

Answer 2

解出f（x）=[4^x-1/4^x+1]
求导地其导数=1+{2*4^x*(以4为底e的对数)/(4^x+1)^2}恒大于零
则其在R上递增
f[x1]+f[x2]=1
可化简为4^(x1+x2)=3+(4^x1+4^x2)≥3+2(根号下4^(x1+x2))
化简得[2^(x1+x2)-1]^2≥4
所以当且仅当x1=x2时
(x1+x2)min=以2为底3的对数
代入得f[x1+x2]的最小值为4/5