Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG，联结CF，P是CF的中点，联结EP、DP．

已知正方形ABCD和正方形AEFG，联结CF，P是CF的中点，联结EP、DP．
（1）如图11，当点E在边AB上时，试研究线段EP与DP之间的数量关系和位置关系；
（2）把（1）中的正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转90°，试在图12中画出符合题意的图形，并研究这时（1）中的结论是否仍然成立；
（3）把（1）中的正方形AEFG绕点A任意旋转某个角度（如图13），试按题意把图形补画完整，并研究（1）中的结论是否仍然成立．

Answer 1

◆因为无图,只能猜着解答了,仅供参考.(因网速问题无法传图,有机会发上来.)
(1)作PM⊥AB于M,PN⊥AD于N,则四边形PNAM为矩形,∠NPM=90°;EF∥PM∥CB.
∴GN/ND=PF/PC,又PF=PC,则GN=ND.得PN=(GF+CD)/2;(三角形中位线的性质)
同理可证:PM=(EF+BC)/2.
∵GF=EF;CD=BC.
∴PN=PM;则矩形PNEM为正方形,AN=AM,得DN=BM=EM.
又∠PND=∠PME=90°,则⊿PND≌⊿PME(SAS),EP=DP;∠DPN=∠EPM.
∴∠DPN+∠NPE=∠EPM+∠NPE=90度,得EP⊥DP.
(2)结论仍然成立.
证明:延长FE交BC于H,作PM⊥EH于M,PN⊥AD于N,连接FN并延长,交CD于K.
同理可证:四边形PMEN为矩形;PM=CH/2=(BC-BH)/2=(AD-AE)/2;
FN=NK,则PN=CK/2=(CD-DK)/2=(AD-EF)/2=(AD-AE)/2.
∴PM=PN,四边形PMEN为正方形,EN=EM=ND;又∠PND=∠PME=90°.
∴⊿PND≌⊿PME,EP=DP;∠EPM=∠DPN,∠DPE=∠NPM=90°,得EP⊥DP.
(3)结论仍然成立.
证明:设两个正方形的中心分别为M,N;连接AC,PM,DM,NM,PN,EN.
则:PM=AF/2=EN,DM=AC/2=PN;PN∥BC,PM∥AF.
∴∠PMC=∠NPM=∠PNF;又∠DMC=∠ENF=90°,则∠PMD=∠PNE.
故⊿PMD≌⊿ENP(SAS),EP=DP;∠EPN=∠MDP.
∴∠EPN+∠DPM+∠MPN=∠MDP+∠DPM+∠PMC=(180度-∠PMD)+∠PMC
=(180度-∠DMC-∠PMC)+∠PMC=90度,得:EP⊥DP.

Answer 2

没有图，正方形ABCD和正方形AEFG位置到底是怎样的？