Question

已知数列an的首项a1≠0,前n项为Sn,常数λ>0且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立

（1）求数列an的通项公式
（2）设λ=100，当n为何值时，数列 lg（1/an） 的前n项和最大

Answer 1

(1)当n>=2时，an=Sn-S(n-1),且S1=a1
S(n-1)=λa1a(n-1)-a1.......(1)
Sn=λa1an-a1................(2)
(2)-(1)=an= λa1an- λa1a(n-1)
(λa1-1)an=λa1a(n-1) 当n=1时，a1^2=a1+a1........a1=1不为0
λ不为1.所以｛an｝公比为λ/（λ-1)........anan=a1*q^(n-1)=[(λ/（λ-1)]^(n-1) n=1时，成立
λ为1.an= an- a(n-1)，即a(n-1)=0与题目不和
综上，λ不为1.an=[(λ/（λ-1)]^(n-1)
λ为1..不成立
（2）直接带入an=[100/99]^(n-1) ,lg(1/an)=lg[(100/99)^(1-n)]。
Sn=lg[(100/99)^(0-1-2-.........+1-n)]=lg[(100/99)^(1-n)n/2]................n=1时，最大。（有点特殊，也许有误，不懂时再问。）

Answer 2

(1)an=0，或者an=(2^n)/λ
(2)前6项和最大

Answer 3