Question

如图:在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于E,D是AB上一点,且AD=AC,AF平分∠CAB交CE于F，交BC于G。求证：CG=CF

Answer 1

连接CD 延长DF交AC点M。
(这是三角形垂心的问题！垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
点F是△ACD的垂心 。)则要证明Rt△DMC≌Rt△CED
能 ∠DGC=∠CED=90°
能证明DF⊥AC
又, ∠ACB=90°即BC⊥AC
∴DF∥BC

连接GD. 证三角形AGC≌三角形AGD
要证得GD垂直AB
DG=CG
GD∥CE
前面证得DF∥BC
则四边形CFDG是平行四边形
则CF=GD FD=CG
又F在垂直平分线上 则CF=FD
所以CF=CG

Answer 2

证明：
因为角CAB=90，CE⊥AB，所以△ABC和△AFE均为直角三角形。

在直角三角形AFE和直角三角形CAG中，因AF平分∠CAB，∠CAG=∠FAE，所以，∠CGF=∠AFE=90-1/2∠CAB
又因AF平分∠CAB，∠CAG=∠FAE，∠CFG与∠AFE为对顶角，，
∠CFG=∠AFE=90-1/2∠CAB。
在三角形CFG中，∠CGF=∠AFG=∠AFE=90-1/2∠CAB，在同一个三角形中，等角对等边，所以CF=CG。