Question

三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，且侧棱垂直于底面，侧棱长是根号3，D是AC的中点.

.(1)求二面角A1-BD-A的大小；（2）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值

Answer 1

（1）∵正三棱住ABC-A1B1C1，
∴AA1⊥底面ABC．
又∵BD⊥AC
∴A1D⊥BD
∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角．
∵AA1=√3 AD=1/2×AC=1
tan∠A1DA=A1D/AD=√3
∴∠A1DA=π/3,即二面角A1-BD-A的大小是π/3
(2)由（1）作AM⊥A1D，M为垂足
∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC
∴BD⊥平面A1ACC1，
∵AM⊂平面A1ACC1，
∴BD⊥AM
∵A1D∩BD=D
∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角．
∵AA1=√3,AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=π/3
∴AM=1×sin60°=√3/2 AP=AB1=√7/2
∴sin∠APM=AM/AP=√21/7
∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值=√21/7

Answer 2

解：（1）（我不会作图）作图后可知 AD垂直于BD C1D垂直于BD 所以BD垂直于AA1C1C 所以BD垂直于A1D 因为A1D=2 AA1=根号3 所以角ADA1=60度 所以二面角大小为60度 （2）思考中。。。