Question

如图，在锐角三角形ABC中，BC和垂直于AC，CE垂直于AB，垂足分别为D,E,BD与CE相交于点H。

1.求证角BAC与角BHE相等2.若角BAC为钝角，其他条件不变，这时角BAC与角BHE有怎样的数量关系？画图并说明理由。

Answer 1

（1）
∠BAC是锐角，所以H点在三角形内
BD垂直于AC，CE垂直于AB
所以∠ADH＝∠AEH＝90
∵∠BHE＝180－∠DHE
∠BAC＝360－∠ADH－∠AEH－∠DHE＝180－∠DHE
所以角BAC与角BHE相等
（2）
∠BAC是钝角，则H点在三角形外
∠BAC＝∠AEC+∠ACE＝90+∠ACE
∠BHE＝∠CDH－∠ACE＝90－∠ACE
所以∠BAC+∠BHE＝90+∠ACE+90－∠ACE＝180
所以角BAC与角BHE互补

Answer 2

1、∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠AEH=∠ADH=90°
即∠AEH+∠ADH=180°
∴A、E、H、D四点共圆
∴∠BAC=∠BHE
（2）不用四点共圆证明
∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴△ADB和△BHE是直角三角形
∴∠BAD+∠DBA=90°
∠BHE+∠HBE=90°
∵∠DBA=∠HBE
∴∠BAC=∠BHE
2、∵BD⊥AC(CH)，CE⊥AB(BE)
∴∠HDA=∠HEA=90°
即∠HDA+∠HEA=180°
∴∠A+∠BHE=180°

Answer 3

1、在四边形AEHD中 ∠A+∠EHD+∠HEA+∠HDA=360°，
又∠HEA=∠HDA=90°，
所以 ∠A+∠EHD=180°。又 ∠BHE+∠EHD=180° 所以 ∠A=∠EHB
2、钝角三角形时，相当于H和A换了一下，这个时候∠BHE=0°
图形自己画