Question

如图,已知抛物线y=1/2x2+bx+c与y轴相交于c,与x轴相交于A.B，点A的坐标为（2,0），点C的坐标为（0，-1）

在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由

Answer 1

解：将A（2，0）。C（0，-1）代入解得：b=-1/2,c=-1
所以y=1/2x2-1/2x-1
当y=0时，
1/2x2-1/2x-1=0
解得：x=2或x=-1
所以点B（-1，0）
所以易求直线BC为：y=-x-1，（此时直线BC与x,y轴的夹角为45度）
因为P在直线BC上，所以设P点坐标（X，-X-1）
AP²=（2-X）²+（-X-1）²=2X²-2X+5
AC²=2²+（-1）²=5
CP²=X²+（-X-1+1）²=2X²
若三角形为等腰三角形，则有三种可能
（1）AP=AC，此时AP²=AC²
2X²-2X+5=5
2X（X-1）=0
X1=0（为C点坐标，舍去），X2=1。代入Y=-X-1，Y=-2
因此P1（1，-2）
（2）AP=CP，此时AP²=CP²
2X²-2X+5=2X²
-2X=-5，X=2.5
代入BC方程，Y=-3.5
因此P2（2.5，-3.5）
（3）AC=CP，此时AC²=CP²
2X²=5
X²=5/2
X=±√10/2
当X=√10/2，Y=-√10/2-1
P3（√10/2，-√10/2-1）
当X=-√10/2，Y=√10/2-1
P4（-√10/2，√10/2-1）