Question

已知函数f（x）=cos^2x-根号3sinxcosx+1. （1）求函数f（x）的单调递增区间

（2）若f（θ）=5/6，θ∈（π/3，2π/3)，求sin2θ的值。

Answer 1

(1)f(x)=(1+cos2x)/2-3^1/2/2sin2x+1
=-sin(2x-pai/6)+3/2
t=sin(2x-pai/6)
f(t)=-t+3/2
f(t)在R上是单调递减的
f(t)的单调递增区间就是t(x)的单调递减区间
2kpai+pai/2<=2x-pai/6<=2kpai+3pai/2
kpai+pai/3<=x<=kpai+5pai/6:k:Z
[kpai+pai/3,kpai+5pai/6]
(2)f(a)=-sin（2a-pai/6)+3/2=5/6
sin(2a-pai/6)=2/3
pai/2<2a-pai/6<7pai/6
cos(2a-pai/6)=-5^1/2/3
sin2a=sin((2a-pai/6)+pai/6)
=sin(2a-pai/6)cospai/6+cos(2a-pai/6)sinpai/6
=2/3*3^1/2/2-5^1/2/3*1/2=3^1/2/3-5^1/2/6

Answer 2

1、cos^2x=(1-cos2x)/2,√3sinxcosx=√3/2sin2x，所以f(x)=3/2-(1/2cos2x+√3/2sin2x)=3/2-sin(1/6π+2x)，所以求其导数为-2cos(1/6π+2x)，令导数大于0，有x属于[-7/12π+kπ,5/12π+kπ]
2、依题意可知sin(1/6π+2θ)=2/3,所以有1/2cos2θ+√3/2sin2θ=3/2，cos2θ=1-2cos^2x,sin2θ=√1-cos2θ，我只能做到这样了，之后可以再想想办法，谢谢。

Answer 3

解：（Ⅰ）f(x)=cos2x-
3sinxcosx+1
=1+cos2x2-
32sin2x+1=cos(2x+
π3)+
32． …（4分）
由2kπ+π≤2x+
π3≤2kπ+2π，
得kπ+
π3≤x≤kπ+
5π6（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ+
π3，kπ+
5π6]（k∈Z）． …（6分）
（Ⅱ）∵f(θ)=
56，∴cos(2x+
π3)+
32=
56，cos(2θ+
π3)=-
23． …（8分）
∵θ∈(
π3，
2π3)，∴2θ+
π3∈(π，
5π3)，
sin(2θ+
π3)=-
1-cos2(2θ+
π3)=-
53． …（11分）
∴sin2θ=sin(2θ+
π3-
π3)=
12sin(2θ+
π3)-
32cos(2θ+
π3)=2
3-
56． …（14分）

Answer 4

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