Question

若a＞0，要使不等式|X-4|+|X-3|＜a的解集不是空集，则a的取值范围

我的想法是求出|X-4|+|X-3|的最大值，而老师是说求|X-4|+|X-3|的最小值，我无法理解

Answer 1

你老师说的对，是求|x-4|+|x-3|的最小值，事实上|x-4|+|x-3|只有最小值，没有最大值。
f(x)=|x-4|+|x-3|<a的解集不是空集，则等价于“存在x0，使得f(x0)<a成立”。
也就是说，只要存在x0，能让f(x0)比a小就行。
那就让f(x)中(f(x)是很多很多个数)的最小的比a小就行了。
所以，求f(x)的最小值。

追问

如果)=|x-4|+|x-3|等于5，而a>1，如果a取值是3，那不是就矛盾了

追答

)=|x-4|+|x-3|非要等于5干嘛，)=|x-4|+|x-3|的值有等于1的呀。
a取值是3，，)=|x-4|+|x-3|有1的值满足就行。
为什么非要让，)=|x-4|+|x-3|等于5呢

Answer 2

解：本题只需利用绝对值的几何意义，即可解决问题。
|X-4|——表示数轴上的点x到点4的距离
|X-3|——表示数轴上的点x到点3的距离
|X-4|+|X-3|——的最小值为1（距离和没有最大值）
所以，要使得解集不是空集。
只需：a>1

Answer 3

所以：|X-4|+|X-3|≥1。要使：|X-4|+|X-3|<a的解集不是空集所以易得到|x-4|+|x-3|≥1 要使不等式|x-4|+|x-3|<a有解 则