Question

正方形ABCD，E，F分别是AB,AD的延长线上一点，且AE＝AF＝AC，EF交BC于G，交AC于K，交CD于H，

求证：EG＝GC＝CH＝HF

Answer 1

证明:
AF=AE,∠FAE=90°, 所以∠E=∠F=45°
又因AB=AD, 所以BE=DF
所以考察△BEG与△DFH
∠EBG=∠FDH=90°
BE=DF
∠BEG=∠DFH
符合角边角定理
△BEG全等于△DFH
所以
1)EG=HF
2)BG=DH, 又因DC=BC,
所以 GC=CH
3)连接CE, 因为AC=AE,所以∠ACE=∠AEC
AC为正方形ABCD的对角线, 所以∠ACB=45°=∠BEG
所以三角形GEC中, ∠GEC=∠GCE
所以EG=GC
所以综合1),2),3)
EG=HF=GC=CH
即EG＝GC＝CH＝HF

Answer 2

连接EC和CF
因为四边形ABCD是正方形，所以角EAC=角CAF=角ACB=角ACD=45度
因为AE=AC=AF，所以角AEC=角ACE，角ACF=角AFC，角AEF=角AFE
三角形AEC和三角形AFC是全等的（SAS）
所以EC=FC
因为角EAF=90度，AE=AF，所以角AEF=角AFE=45度
角AEC-角AEF=角ACE-角ACB，即角GEC=角GCE
角ACF-角ACD=角AFC-角AFE，即角HCF=角HFC
所以以GE=GC，HC=HF，三角形GEC与三角形HFC全等（ASA）
因为三角形GEC与三角形HFC全等，所以GC=HC
所以EG＝GC＝CH＝HF

Answer 3

TA