Question

已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x2-mx+1=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的取值范围

Answer 1

A∪B=A 说明B属于A ； A∩C=C，说明C也属于A
就是A既包含B也包含C
解方程A＝｛1，2｝

可以对B因式分解，解得B＝｛a-1, 1｝或者当a-1=1（a=2）时，B=｛1｝
因为A包含B 所以a-1=1 或者a-1=2 所以a=2或者a=3
a的取值范围为｛2，3｝

C暂时不能看出解，但是可知C中两个根（包括两个重根）的积x1*x2=1
又C属于A ，即C中根只能从1和2之间选择，所以x1=x2=1
所以m=2
m 的取值范围为｛2｝

ps:楼上m=5/2是不成立的，可以解方程验证一下。
还有第二楼m=-2也是错的。

Answer 2

解方程x^2-3x+2=0得：x1=1、x2=2，A={1，2}。
解方程x^2-ax+a-1=0得：x1=1、x2=a-1，B={1，a-1}。
因为A∪B=A，所以B是A的子集。
所以，a-1=1或a-1=2。
即a=2或a=3。
因为A∩C=C，所以C是A的子集。
由韦达定理知，x1=1、x2=2不能同时是方程x^2-mx+1=0的根(x1x2<>1)。
所以，方程x^2-mx+1=0至多有一个根。
所以，判别式=m^2-4<=0、-2<=m<=2。
当m=-2时，方程x^2-mx+1=0的根为x=-1，不符合题意。
当m=2时，方程x^2-mx+1=0的根为x=1，符合题意。
所以，a的取值范围是{2，3}、c的取值范围是(-2，2]。

Answer 3

A={x|x^2-3x+2=0}
= {1,2}
B={x|x^2-ax+a-1=0}
= { 1,(a-1)}
C={x|x2-mx+1=0}
A∪B=A
=> B is subset of A
when x=1
a-1=1 => a=2
when x=2
a-1=2 => a=3
ie a= 2 or 3

A∩C=C
=> C is subset of A
when x=1
1-m+1=0 => m=2
when x=2
4-2m+1=0 => m=5/2
ie m=2 or 5/2

Answer 4

A={x|x^2-3x+2=0}
= {1,2}
B={x|x^2-ax+a-1=0}
= { 1,(a-1)}
C={x|x2-mx+1=0}
A∪B=A
=> B is subset of A
when x=1
a-1=1 => a=2
when x=2
a-1=2 => a=3
ie a= 2 or 3

A∩C=C
=> C is subset of A
when x=1
1-m+1=0 => m=2
when x=2
4-2m+1=0 => m=5/2
ie m=2 or 5/2