Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b,当a+b不等于0,都有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b,当a+b不等于0,都有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0

（1）若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小
（2）若f(k•3^x)+f(3^x–9^x–2)<0对x属于[–1,1]恒成立，求实数k的取值范围。

Answer 1

f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-b)=-f(b),
且对任意a,b,当a+b不等于0,都有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0
（1）若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小
所以a+(-b)=a-b>0,则[f(a)+f(-b)]/[a+(-b)]=[f(a)-f(b)]/(a-b)>0
所以f(a)>f(b)

（2）若f(k•3^x)+f(3^x–9^x–2)<0对x属于[–1,1]恒成立，
则对x属于[–1,1],有k*3^x+3^x-9^x-2<0,k+1<(9^x+2)/3^x
所以k<3^x+2/3^x-1=[(3^x)^2-3^x+2]/3^x=[(3^x-1/2)^2+2-1/4]/3^x=[(3^x-1/2)^2+7/4]/3^x

对x属于[–1,1],有k*3^x+3^x-9^x-2<0,(3^x)^2-(k+1)3^x+2>0,
所以[3^x-(k+1)/2]^2>(k+1)^2/4-2>0,所以k>2√2-1或k<-2√2-1

Answer 2

1.当a>b时
a+b肯定不等于0
同时a-b也不为0
所以（f(a)+f(-b)）/(a+(-b))>0
因为条件是a-b>0
所以可以得到f（a）+f（-b）>0
同时f（x）为奇函数
所以f（-b）=-f（b）
即f(a)-f(b)>0
suoyi :f(a)>f(b)
2.由第一问可得为单调增函数，通过对f(3^x-9^x-2)进行奇函数变换得到
f(k*3^x)-f(9^x+2-3^x)<0
所以得到k*3^x<9^x+2-3^x
然后变换两边区对数即可求得结果