Question

如果方程x^2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-p,x1.x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：

1 已知关于x的方程x^2+mx+n=0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数
2 已知a、b满足a^2-15a-5=0 b^-15b-5=0,求a/b+b/a的值
3 已知a、b、c满足a+b+c=0,abc=16，求正数c的最小值

Answer 1

分析：（1）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出1x1+1x2=-mn，1x1•1x2=1n，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．
（2）根据a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，得出a，b是x2-15x-5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出ab+ba的值．
（3）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=16c，a、b是方程x2+cx+16c=0的解，再根据c2-4•16c≥0，即可求出c的最小值．
解答：解：（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，
则：1x1+1x2=x1+x2x1x2 =-mn，
1x1•1x2=1x1x2 =1n，
若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，
则这个一元二次方程是：x2+mnx+1n=0；
（2）∵a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，
∴a，b是x2-15x-5=0的解，
∴a+b=15，ab=-5，
∴ab+ba=a2+b2ab=(a+b)2-2abab=152-2×(-5)-5=-47；
（3）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=-c，ab=16c，
∴a、b是方程x2+cx+16c=0的解，
∴c2-4•16c≥0，
c2-43c≥0，
∵c是正数，
∴c3-43≥0，
c3≥43，
c≥4，
∴正数c的最小值是4．

Answer 2

解：（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，
则：
1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1x2
=-
m
n
，
1
x1
•
1
x2
=
1
x1x2
=
1
n
，
若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，
则这个一元二次方程是：x2+
m
n
x+
1
n
=0；
（2）∵a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，
∴a，b是x2-15x-5=0的解，
∴当a≠b时，
a+b=15，ab=-5，
a
b
+
b
a
=
a2+b2
ab
=
(a+b)2-2ab
ab
=
152-2×(-5)
-5
=-47，
当a=b时，
a
b
+
b
a
=1+1=2；
（3）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=-c，ab=
16
c
，
∴a、b是方程x2+cx+
16
c
=0的解，
∴c2-4•
16
c
≥0，
c2-
43
c
≥0，
∵c是正数，
∴c3-43≥0，
c3≥43，
c≥4，
∴正数c的最小值是4．