Question

如果方程x^2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-p,x1.x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：

1 已知关于x的方程x^2+mx+n=0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数
2 已知a、b满足a^2-15a-5=0 b^-15b-5=0,求a/b+b/a的值
3 已知a、b、c满足a+b+c=0,abc=16，求正数c的最小值

Answer 1

1）方程x^2+mx+n=0(n≠0)的两根为x1.x2,
且x1+x2=-m,x1*x2=n
新方程的两根为y1,y2,
y1+y2=1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1*x2=-m/n
y1*y2=1/x1*(1/x2)=1/x1*x2=1/n
所以新方程为y^2+(m/n)y+1/n=0,
整理：ny^2+my+1=0

2)依题意，a,b是方程x^2-15x-5=0的两根，
所以a+b=15,ab=-5
所以 a^2+b^2
=(a+b)^2-2ab
=15^2-2*(-5)
=225+10
=235
所以a/b+b/a
=a^2/ab+b^2/ab
=(a^2+b^2)/ab
=235/15
=47/3

3)整理，a+b=-c,ab=16/c
所以a,b是方程x^2+cx+16/c=0的两根，
所以判别式=△
=b^2-4ac
=c^2-4*(16/c)≥0
即c^2≥64/c
因为c>0
所以c^3≥64
所以正数c的最小值为4

Answer 2

(1)x1+x2=-m,x1*x2=n,所以1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1*x2=-m/n,(1/x1)*(1/x2)=1/n.
所求方程为：x^2+(m/n)x+1/n=0,即：nx^2+mx+1=0。
(2)由题知a,b是方程x^2-15x-5=0的根，所以a+b=15,ab=-5.
所以：a/b+b/a=(a^2+b^2)/ab=[(a+b)^2-2ab]/ab=[15^2-2*(-5)]/(-5)=－47.
(3)由题知：a+b=-c,ab=16/c,所以,a,b可以看作是方程x^2+cx+16/c=0的两根。
由判别式>=0，得：c^2-4*16/c>=0.解得:c>=4.所以正数c的最小值是4.

Answer 3

1）方程x^2+mx+n=0(n≠0)的两根为x1.x2,
且x1+x2=-m,x1*x2=n
新方程的两根为y1,y2,
y1+y2=1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1*x2=-m/n
y1*y2=1/x1*(1/x2)=1/x1*x2=1/n
所以新方程为y^2+(m/n)y+1/n=0,
整理：ny^2+my+1=0

2)依题意，a,b是方程x^2-15x-5=0的两根，
所以a+b=15,ab=-5
所以 a^2+b^2
=(a+b)^2-2ab
=15^2-2*(-5)
=225+10
=235
所以a/b+b/a
=a^2/ab+b^2/ab
=(a^2+b^2)/ab
=235/15
=47/3

3)整理，a+b=-c,ab=16/c
所以a,b是方程x^2+cx+16/c=0的两根，
所以判别式=△
=b^2-4ac
=c^2-4*(16/c)≥0
即c^2≥64/c
因为c>0
所以c^3≥64
所以正数c的最小值为4

Answer 4

1
解:设所求方程的根为y,则y=1/x
所以x=1/y,代入方程x^2+mx+n=0
得到(1/y)^2+m(1/y)+n=0
化简得到：ny^2+my+1=0

2
解：分两种情况
1） a≠b时
a、b为方程X²-15X-5=0的两个根，根据韦达定理得：
a+b=15 ,ab=-5,
a²+b²=(a+b)²-2ab==225+10==235
所以a/b+b/a=(a²+b²)/ab=235/15=47/3

2）a=b时 a/b+b/a=2
即 a/b+b/a=2或-6

3

a、b、c满足a+b+c=0,abc=16
所以 a+b=-c ,ab=16/c
所以a、b为方程X²+cX+16/c=0的两个根，
所以 判别式≥0
即 c²-4*16/c≥0
c是正数，
所以 c≥4
正数c的最小值为4

追问

第二小题第二种方法为什么有-6？？

追答

应改为 a/b+b/a=2或47/3

Answer 5

1.设方程的根是x1,x2,则，x1+x2=-m,x1*x2=n,所以 1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1*x2)=-m/n,1/x1*1/x2=1/(x1*x2)=1/n,所以所求方程为x^2+(m/n)*x+1/n=0
2.由a^2-15a-5=0 b^-15b-5=0知，a,b是方程x^2-15x-5=0的两个根，所以a+b=15,ab=-5,所以
a/b+b/a=(a^2+b^2)/ab=[(a+b)^2-2ab]/ab=[15^2-2*(-5)]/(-5)=-47
3.a+b=-c,ab=16/c,所以a,b是方程x^2+cx+16/c=0的两根，所以判别式c^2-4*16/c>=0,因为c>0,所以c^2>=64/c,即c^3>=64,所以c>=4,所以正数c的最小值是4。