Question

变上限积分

区间0-x,F(x)=∫ tf(x-t)dt
将x-t=u,那变成区间还是0-x，∫（x-u)f(u)du
这x,t,u哪些是变量啊，为什么不是∫（x-u)f(u)d（x-u)呢？

Answer 1

对于F(x)而言，当然x是自变量，但是一旦x 确定了，那F(x)的值也就确定了，
现在，固定x，对于那个定积分而言，当然t是变量，现在我们要做的是 将f（x-t） 简化，所以作变量代换，令x-t=u，那么t = x-u ， dt = - du （注意这时x固定，是常量） 原来的积分变为
∫ （x-u）f（u）（-du），但注意到这时积分上下限也在改变，因为当t = 0 时 u=x， t=x时，u=0 也就是说，现在积分上限是 0，下限是x ，然后上下限交换位置，多出一个负号，正好与（-du）中的负号抵消，变为正，就变为那个样子了。

Answer 2

在积分[0-x, ∫ tf(x-t)dt]中，t是变量；
令x-t=u，则是把变量t变为变量为u，此时
[0-x, ∫ tf(x-t)dt]=[x-0,∫(x-u)f(u)d(x-u)]
=[x-0,∫(x-u)f(u)(-1)d(u)]
=[0-x,∫(x-u)f(u)d(u)]。