Question

如图，D是三角形ABC的边AC上一点，∠CBD的平分线交AC于E，AE=AB，求证：AE×AE=AD×AC

Answer 1

证明：因为 BE平分角CBD,
所以 角DBE=角CBE,
因为 AE=AB,
所以 角ABE=角AEB,
又因为 角ABE=角ABD+角DBE, 角AEB=角C+角CBE,
所以 角ABD=角C,
因为 角ABD=角C, 角A=角A,
所以 三角形ABD相似于三角形ABC,
所以 AB/AD=AC/AB, 即：ABXAB=ADXAC,
因为 AE=AB,
所以 AEXAE=ADXAC。

Answer 2

证明如下：由已知条件可以知道∠DBE=∠CBE;
AE=AB可得∠ABE=∠AEB
由三角形的一个外角等于另两个内角的和可以知道 ∠ABE=∠AEB=∠C+∠CBE=∠C+∠DBE=
∠ABD+∠DBE 可知，∠C=∠ABD 又因为∠A公共 可以知道 △ABD∽△ACB；
所以 AB/AD=AC/AB AB*AB=AD*AC AB=AE 即 AE×AE=AD×AC