Question

这道三角函数题怎么解？

已知f(x)=sin2x+2sin（π/4-x）*cos（π/4-x）
1.求函数f（x）的最小正周期
2.求函数f（x）在区间【-π/12，π/2】上的值域

Answer 1

f(x)=sin2x+2sin(π/4-x)cos(π/4-x)
=sin2x+sin[2(π/4-x)]
=sin2x+sin(π/2-2x)]
=sin2x+cos2x
=√2πsin(2x＋π/4)
∴f(x)的最小正周期T＝2π/2＝π
-π/12≤x≤π/2
-π/6≤2x≤π
π/12≤2x+π/4≤5π/4
-√2/2≤sin(2x+π/4)≤1
值域[-1,√2]

追问

-π/2≤x≤π/2
-π≤2x≤π
-3π/4≤2x+π/4≤5π/4
-1≤sin(2x+π/4)≤1
值域[-√2,√2]

这后面的我没看懂！

追答

我修改了下哦 你题目里面 -π/12≤x≤π/2 这样的 不好意思
-π/6≤2x≤π
π/12≤2x+π/4≤5π/4
这里都是好理解的
-√2/2≤sin(2x+π/4)≤1 主要是通过图像来看的

所以值域[-1,√2]

追问

可是为什么-π/6≤2x≤π就到了π/12≤2x+π/4≤5π/4呢？这是怎么算的啊？

追答

-π/6≤2x≤π

-π/6+π/4≤2x+π/4≤π+π/4

π/12≤2x+π/4≤5π/4

Answer 2

∵2sin﹙π／4－x﹚·cos﹙π／4－x﹚＝sin﹙π／2－2x﹚＝cos2x
∴f﹙x﹚＝sin2x＋cos2x＝√2﹙√2／2sin2x＋√2／2cos2x﹚＝√2sin﹙2x＋π／4﹚
∴T＝π，，，
②∵－π／6≤2x≤π，，∴π／12≤2x＋π／4≤5π／4，，∴f﹙x﹚的值域为[－1,1]