Question

已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为根号2,且过点(4,-根号10)点M（3，m）在双曲线上

（1）求双曲线方程
（2）求证 向量MF1乘以向量MF2=0
（3）求△F1MF2面积

Answer 1

(1)、设焦点在X轴,双曲线方程为:x^2/a^2-y^2/b^2=1,
c/a=√2,(a^2+b^2)=2a^2,a=b,
x^2/a^2-y^2/a^2=1,
双曲线经过点（4，－√10),
代入方程,a=√6,
∴双曲线方程为:x^2/6-y^2/6=1,这是实轴在X轴上，
而若实轴在Y轴，则点（4，-√10）代入没有实数解，故焦点不可能在Y轴。
（2）、M（3,m)在双曲线上，代入方程，
m=±√3，c=ea=√2*√6=2√3,焦点坐标：F1（-2√3,0),F2(2√3,0),
向量F1M={3+2√3,3},向量F2M={3-2√3,3},
向量F1M·向量F2M=(3+2√3)i·(3-2√3)i+3j·(3-2√3)i+(3+2√3)i·3j+3j·3j=-3+3=0,
这里i和j是水平和垂直向量的单位分量，i和j点积为0，
同理m==-√3时结果相同，
∴向量F1M·向量F2M=0，二向量互相垂直。
可以用勾股定理，证明F1M^2+F2M^2=F1F2^2，或求出直线F1M和F2M斜率的互为倒数关系来证明二向量相垂直，而推出二向量点积为0。
（3）、在△MF1F2中，|F1F2|=2c=4√3,高=√3，
∴S△MF1F2=|F1F2|*h/2=4√3*√3/2=6.

Answer 2

（1）c/a=√2，得b²=a²，所以设方程x²-y²=a²，（4，-√10）代入得：a²=6，所以方程为x²-y²=6
（2）首先直线过定点M(3,m).离心率c/a=√2,则c^2/a^2=2,c^2=2a^2.所以b^2=a^2.又双曲线过点(4,-√10)
可以得到双曲线的方程为x^2/6-y^2/6=1.又点M在双曲线上，则M（3，±√3），F1(2√3,0)F2(-2√3,0)
再利用向量可得F1M⊥F2M，即向量MF1乘以向量MF2=0