Question

一道高考数学选择题。求助！

要详细解释一下每个选项为什么错或错！！ 谢谢

设S是实数集R的非空子集，如果∀a,b∈S ，有a+b∈S, a-b∈S ，则称S是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是
A．存在有限集S，S是一个“和谐集”
B．对任意无理数a，集合{x|x=ka,k∈Z}都是“和谐集”
C．若S1≠S2，且S1，S2均是“和谐集”，则S1∩S2 ≠ 空集
D．对任意两个“和谐集”S1，S2， 若S1≠R，S2≠R，则S1∪S2=R

Answer 1

解：
A
反证法：
设不存在这样的有限和谐集，而：
∀a,b∈S ，有a+b∈S, a-b∈S
即：a+b=或者a或者b
a-b=或者a或者b
因此：S必有一个元素为0，令b=0,则：集合S‘={a,0}一定不是和谐集
但：
a+0=a∈S’;
a-0=a∈S’
即：S‘是和谐集
矛盾
因此：假设错误，存在有限集合S
B
证明：
∀k1,k2∈Z,k1≠k2
则：k1a+k2a=(k1+k2)a,其中(k1+k2)∈Z
∴(k1+k2)a∈S
同理：(k1-k2)a∈S
即：S是和谐集
C
由A的反证法中可以知道，0∈S
∴S1∩S2 ≠ 空集成立
D
用反证法，假设S1∪S2=R
根据A可以知道：S1={a,0},S2={b,0}是和谐集，其中a≠b
则必有：S1∪S2=R
这显然是错误的，矛盾
因此：S1∪S2=R不成立

选D

Answer 2

A没有问题。如{x|x=k kEz} 就是和谐集。

B中，S={x|x=ka,k∈Z}，x1=k1a x2=k2a
x1+x2=(k1+k2)aES
x1-x2=(k1-k2)aES
所以成立。

C中，如果S1∩S2= 空集，
举一例，S1={x|x=k kEz}
S2={x|x=2k kEz}
S1∩S2 =S2 不是空集。
实际上，如果a+bEs a-bEs 则a+(-b)Es 则-bES bES -b+b=0ES
所以任何和谐集都有元素0，它们的交集必有元素0，不是空集。
所以C是正确的。

D。S1={x|x=2k kEz} S2={x|x=k kEz} S1∪S2=S2 不是R
所以D是假的。

选D

Answer 3

A是真命题 S={0}是和谐集
B是真命题：
设 x1=k1a,x2=k2a ,k1,k2∈Z
x1+x2=(k1+k2)a∈S
x1-x2=(k1-k2)a∈S
∴S={x|x=ka,a是无理数,k∈Z）是和谐集
C 是真命题：任意和谐集中一定含有0
∴S1∩S2≠Φ
D假命题
取S1={x|x=2k,k∈Z},S2={x|x=3k,k∈Z∈}
S1,S2均是和谐集，但5不属于S1,也不属于S2
∴S1∪S2不是实数 集
选D

Answer 4

选D
A是真命题，可以是零，知道吧，
B是真命题：
设 x1=k1a,x2=k2a ,k1,k2∈Z
x1+x2=(k1+k2)a∈S
x1-x2=(k1-k2)a∈S
∴S={x|x=ka,a是无理数,k∈Z）是和谐集
C 是真命题：任意和谐集中一定含有0
∴S1∩S2≠Φ
D假命题
取S1={x|x=2k,k∈Z},S2={x|x=3k,k∈Z∈}
S1,S2均是和谐集，但5不属于S1,也不属于S2
∴S1∪S2不是÷ 集

Answer 5

显然这题应该选D，因为A,B,C是相互关联的...S1可以全部是2的整数倍，S2可以是3的整数倍，他们的并集显然不是全集R，谢谢！！祝你好运！！