Question

要修建一扇环形花圃如下图，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，问当中心角α为多少时

其面积最大，并求其最大面积（中心角的大小在0~π之间）.
周长定值是2L，不是21。

Answer 1

设AO为x 则DO=x OB=CO=2x 因为圆弧AO+圆弧BC+AB+CD=21
可列出方程式：2x+xα（圆弧AD长）+2xα（圆弧BC长）=21
即 2x+3xα=21
根据不等式性质 a²+b²≥2ab
则 2x+3xα≥2根号下（6x²α）
所以21≥2根号下（6x²α）
可得 x²α≤441\24
这时根据面积公式算出扇环形ABCD用x和α的代数式表示：
S=2x²α（扇形OBC面积）-x²α\2（扇形DAD面积）=3x²α\2
因为上面已经得到了 x²α≤441\24
所以S≤441\16
在s取得等号时 可知 2x=3xα
所以α=2\3 时S取得最大值 为441\16

哦也

Answer 2

设扇形中心角为α，内圆弧半径为r，则外圆弧半径为2r。所以弧AD为αr，弧BC为2αr。 S扇环形=1/2X2rX2rα-1/2XrXrα=3/2rXrα 2r+2rα+rα=2L,所以α=（2L-2r）/3r S=3/2rXrX（2L-2r）/3r=rL-rXr=-(r-L/2)*2+L*2/4
所以当r=L/2，即α=2/3时，S最大=L*2/4

Answer 3

花圃周长恒为21的话。。当α为1时小扇形半径为21/4.。面积最大为1323/32