Question

高一数学题，详见内，回答好加分

如图，直线l1：y=x交直线x=1于p1点，直线l2经过P1且斜率是1/2，l2交直线x=2于p2点，直线l3经过点p2且斜率是1/（2^2），l3交直线x=3于p3点。以此类推，直线Ln经过点Pn-1且斜率是1/（2^(n-1)）,Ln交直线x=n于Pn点，求：（1）点P1,P2的坐标（2）点Pn的坐标（3）由原点O，Pn,Xn组成△OPnXn,令Sn=S△OPn+1Xn+1-S△OPnXn（n∈N*）。试问Sn是否有最大值，如有则求出n,如无则说明理由

Answer 1

(1)很容易的得到P1(1,1),p2(2,3/2)
(2)设Pn的坐标为(X(n),Y(n)),
则可得直线Ln的方程为Y(n)-Y(n-1)=1/(2^(n-1))*(X(n)-X(n-1)) 。因为X(n)-X(n-1）=1，所以
Y(n)-Y(n-1)=1/(2^(n-1))
于是 Y(n)=Y(n)-Y(n-1)+Y(n-1)-Y(n-2)+...+Y(2)-Y(1)+Y(1)
=1/(2^(n-1))+1/(2^(n-2))+...+1/2+1
=(1-1/(2^n))/(1/2)
=(2^n-1)/2^(n-1)
所以Pn的坐标为(n, (2^n-1)/2^(n-1))
(3)由（2）可知S△OPnXn=1/2*Xn*Yn=n*(2^n-1)/2^n
于是Sn=1+(n-1)/2^(n+1)
于是Sn-S(n-1)=(-n+3)/2^(n+1)，当n<3是该值大于0，当n>3时该值小于0，当n=3时该值为0，所以Sn有最大值，为S3=9/8

码了这么久的字，希望能加到分

Answer 2

1）容易求得 P1（1，1），P2（2，3/2）。
2）由题知，Pn 的横坐标为 n 。设 Pn 的纵坐标为 an ，
由已知得 [an-a(n-1)]/[n-(n-1)]=1/2^(n-1) ，
即 an-a(n-1)=1/2^(n-1) ，
因此由累加法得
an=an-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+......+a2-a1+a1
=1/2^(n-1)+(1/2)^(n-2)....+1/2+1
=[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=2-(1/2)^(n-1) ，
即 Pn 的坐标为（n ，2-(1/2)^(n-1)）。
3）因为 S△OPnXn=1/2*|OXn|*an=n/2*[2-(1/2)^(n-1)] ，
因此 Sn=(n+1)/2*[2-(1/2)^n]-n/2*[2-(1/2)^(n-1)]
=1+n/2^n-(n+1)/2^(n+1)
=1+(n-1)/2^(n+1) 。
由于 S(n+1)-Sn=n/2^(n+2)-(n-1)/2^(n+1)
=(2-n)/2^(n+2) ，
因此，当 n<2 时，Sn 递增 ，当 n>2 时，Sn 递减 ，当 n=2 时 ，S2=S3 取最大值 9/8 。

Answer 3

（1）由于P1在直线y=x上，也在x=1上，所以，P1坐标为x=1,y=1。P1(1,1)
设L2直线解析式为：y=kx+b，L2经过P1(1,1),L2直线斜率k为1/2，代入解析式求得，b=1/2，y=1/2x+1/2,P2在x=2直线上，P2(2，3/2)。
（2）设Ln直线解析式：y=1/（2^(n-1)）x+bn，bn=(n-1)/2,得到，Pn(n，n/（2^(n-1)）+(n-1)/2)，简化：Pn（n，(2^n-1)/2^(n-1))
（3）Sn=S△OPn+1Xn+1-S△OPnXn（n∈N*）,△OPn为直角三角形，S△OPn=1/2*n*2n/2^n=n^2/2^n，Sn=n^2/2^n+n+1 ，
Sn-S(n-1)=(-n+3)/2^(n+1)，当n<3是该值大于0，当n>3时该值小于0，当n=3时该值为0，所以Sn有最大值，为S3=9/8

Answer 4

（1）由图，A=1，0.5T=0.5π，所以w=2，将（π/6, 0）代入，解得初相为π/6.所以f(x)=sin(2x+π/6).所以g(x)=sin(2x-π/6). （2

Answer 5

30分估计没人做，因为码字太难了