Question

一只函数f(x)=根号3sin2x+2cos²x=m在区间[0，2分之π]上的最大值为6

(1)求常熟m的值及函数f(x)图象的对称中心
(2)做函数f(x)关于y轴的对称轴图象得函数f1(x)的图象，
再把函数f1(x)的图象向右平移4分之π个单位得函数f2(x)的图象，
求函数f2(x)的单调递减区间

Answer 1

1，f(x)=√3sin2x+2cos²x+m

=√3sin2x+1+cos2x+m
=2sin(2x+π/6)+m+1
∵0≤x≤π/2 ∴π/6≤2x+π/6≤7π/6
那么f(x)max=2+m+1=6，m=3
令2x+π/6=(2k+1)π，那么x=kπ+5π/12
那么对称中心为(kπ+5π/12，4) (k∈Z)
2，设点(x,y)在f1(x)上，那么点(-x,y)在f(x)上
那么y=f1(x)=f(-x)=2sin(-2x+π/6)+4=-2sin(2x-π/6)+4
那么f2(x)=-2sin[2(x-π/4)-π/6]+4=-2sin(2x-2π/3)+4
令2kπ-π/2≤2x-2π/3≤2kπ+π/2
kπ+π/12≤x≤kπ+7π/12
那么函数f2(x)的单调递减区间为[kπ+π/12,kπ+7π/12] (k∈Z)

Answer 2

f(x)=√3sin2x+2cos²x+m
=√3sin2x+cos2x+1+m
=2sin(2x+π/6)+m
x∈[0,π/2]
2x+π/6∈[π/6,7π/6]
f(x)的最大值为 2+m=6
得 m=4
所以
f(x)=2sin(2x+π/6)+4
对称中心：
2x+π/6=kπ
x=kπ/2-π/12 k∈z
所以
对称中心为 (kπ/2-π/12,4)

关于y轴对称，则把x变成-x即可
f1(x)=2sin(-2x+π/6)+4
=-2sin(2x-π/6)+4
向右平移π/4个单位
则
f2(x)=-2sin[2(x-π/4)-π/6]+4
=-2sin(2x-2π/3)+4
单调减区间即 sin(2x-2π/3)的单调增区间：
2x-2π/3∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
所以x∈[kπ+π/12,kπ+7π/12] k∈z

f2(x)的单调减区间为
[kπ+π/12,kπ+7π/12] k∈z

追问

为什么答案不一样呢 = = 。亲 要不你再帮我算算第一小题 m是等于几好嘛

追答

不好

追问

= =! 好吧。 我算着好像是等3的。