Question

三个高数题，一个导数两个中值定理

Answer 1

7、第二个条件是x趋于0才行。用定义证明。当y趋于0时，
f'(x)=lim 【f(x+y)－f(x)】/y
＝lim f(x)(f(y)－1)/y
＝f(x) lim yg(y)/y
＝f(x)。
8、反证法：若对任意的x，有f'(x)<=0，则f(x)在【a，b】上是减函数，
但又有f(a)＝f(b)，因此f(x)是常数函数，矛盾。
9、连续用n次Cauchy中值定理。
f(x)/x^n＝(f(x)－f(0))/(x^n－0)
＝f'(x1)/nx1^(n－1)
＝【f'(x1)－f'(0)】/【x1^(n－1)－0】/n
=f‘’(x2)/x2^(n－2)*1/(n(n－1))
继续下去，
＝....
＝f^(n)(xn)/n!。其中xn介于0和x之间，因此
结论成立。