Question

当x趋向于0,lim[ln(1-2x2)+xf(x)]/x6=3,那么lim[f(x)-2x2]/x5=?

我想知道为什么不能照我自己的方法算
lim[ln(1-2x2)+xf(x)]/x6=limln(1-2x2)/x6+limxf(x)/x6
再根据等价无穷小ln(1-2x2）等于-2x2,
原式变为lim-2x2/x6+limxf(x)/x6
=lim-2x/x5+limf(x)/x5
=lim[-2x2+f(x)]/x5=-3
错在哪里呢？我猜是等价无穷小的替换上，可是感觉又是对的一样
正确答案是5，是用lim[f(x)-2x2]/x5=lim[ln(1-2x2)+xf(x)]/x6减去某某，再求得某某的值为-2得出的

Answer 1

lim[ln(1-2x2)+xf(x)]/x6 不能直接写成 limln(1-2x2)/x6+limxf(x)/x6
因为极限不能随意按+、- 来拆分，尤其拆开后不能随意用等价无穷小来处理，它会割断与原题的联系。因为拆开后单个的极限可能不存在。
如lim(x→∞) x-x =0,但不能拆成lim(x→∞) x - lim(x→∞) x，因为lim(x→∞) x 不存在
本题实际上要用到洛比达法则。