Question

如图。在矩形ABCD中AB=6，AD=12，点E在AD边上且AE=8，EF⊥BE交CD于F

1.求证：三角形ABE∽△DEF
2.求EF的长

Answer 1

1、∵ABCD是矩形
∴∠D=∠A=90°
∵EF⊥BE即∠EF=90°
∴∠DEF=∠EBA(同为∠AEB的余角）
∴△ABE∽△DEF
2、∵AD=12，AE=8
∴DE=AD-AE=4
在Rt△ABE中
BE²=AE²+AB²=8²+6²=100
BE=10
∵△ABE∽△DEF
∴DE/AB=EF/BE
即EF=DE×BE/AB=4×10/6=20/3

Answer 2

相似即对应边成比例即可，要证明三角形ABE∽△DEF就要证明AB/DE=BE/EF=AE/DF
又因为已知AB=6、AE=8、DE=4、BE=10，接下来令EF=X，CF=6-X,则DF^2=x^2-16，BF=X^2+100
所以X^2+100=（6-X)^2+144，解得X=20/3,DE=16/3
AB/DE=BE/EF=AE/DF得证，故三角形ABE∽△DEF
EF=20/3

Answer 3

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；

Answer 4

1、
∵EF⊥BE
∵∠AEB+∠ABE=90，∠DEF+∠AEB=90
∴∠ABE=∠DEF
又∠A=∠D=90
∴△ABE∽△DEF
2、
BE=√AB²+AE²=10
∵△ABE∽△DEF
∴EF:BE=DE:AB
即EF:10=(12-8):6
得EF=20/3

Answer 5

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵△ABE∽△DEF，
∴BEEF=
ABDE，
∵AB=6，AD=12，AE=8，
∴BE=AB2+AE2=10，DE=AD-AE=12-8=4，
∴10EF=
64，
解得：EF=203．