Question

有关导数的证明解答题

设函数f(x)=ax-b/x，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0，证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值

Answer 1

∵f（x）＝ax－b/x，∴f′（x）＝a＋b/x^2，∴过点（2，f（2））的切线的斜率＝a＋b/4，
∴a＋b/4＝7/4，∴a＝7/4－b/4。······①

∵曲线f（x）＝ax－b/x上的点（2，f（2））在直线7x－4y－12＝0上，
∴14－4（2a－b/2）－12＝0，∴2－8a＋2b＝0，∴b＝4a－1。······②
将②代入到①中，得：a＝7/4－（4a－1）/4，∴4a＝7－4a＋1，∴a＝1，∴b＝4×1－1＝3。
∴f（x）＝x－3/x，∴f（x）＝1＋3/x^2。

令（m，f（m））为f（x）＝x－3/x上的任意一点，则有：f（m）＝m－3/m，f′（m）＝1＋3/m^2。
∴过点（m，f（m））的切线的斜率＝1＋3/m^2。
∴过点（m，f（m））的切线方程为：y－（m－3/m）＝（1＋3/m^2）（x－m）。

令y－（m－3/m）＝（1＋3/m^2）（x－m）中的x＝0，得：y＝m－3/m－m－3/m＝－6/m。
∴过点（m，f（m））的切线与x＝0的交点为A（0，－6/m）。

令y－（m－3/m）＝（1＋3/m^2）（x－m）中的y＝x，得：
y－m＋3/m＝（1＋3/m^2）y－m－3/m，∴（3/m^2）y＝6/m，∴y＝2m，∴x＝y＝2m。
∴过点（m，f（m））的切线与y＝x的交点为B（2m，2m）。

在△OAB中，显然有：｜OA｜＝｜6/m｜，B到OA的距离＝｜2m｜。
∴S(△OAB)＝（1/2）｜6/m｜｜2m｜＝6。
∴曲线y＝f（x）上任一点与直线x＝0、y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值是6。