Question

设α1=(1,0,2),α2=(2,0,-3),α3=(1,2,1),任一向量β=(a,b,c)能否由α1,α2,α3线性表示？请证明

Answer 1

这类题目是考查知识点:
1. 任一n维向量β可由α1,α2,...,αn线性表示的充分必要条件是n维向量组α1,α2,...,αn 线性无关
2. n维向量组α1,α2,...,αn 线性无关的充分必要条件是它们构成的行列式不等于0

解: 因为 |α1,α2,α3| =
1 2 1
0 0 2
2 -3 1
= 14 ≠ 0
所以 α1,α2,α3 线性无关.
而对任一向量 β, 由于 α1,α2,α3, β 线性相关 (个数大于维数必线性相关)
所以 β 必可由 α1,α2,α3 线性表示.

Answer 2

可以。
β=(a,b,c)
设β=Aα1 + Bα2 + Cα3
则a = A + 2B + C
b = 2C
c = 2A - 3B + C
由上解得C = b/2
B = (4a-2c-b)/14
A = (6a-5b+4c)/14
所以可以用α1，α2，α3来表示β。

Answer 3

r(a1T，a2T，a3T)=r(1 2 1
0 0 2
2 -3 1)=r(E)=3
而r(a1T，a2T，a3T)=3≤r(a1T，a2T，a3T，βT)≤3
所以r(a1T，a2T，a3T，βT)=r(a1T，a2T，a3T)=3
所以β=(a,b,c)能由α1=(1,0,2),α2=(2,0,-3),α3=(1,2,1)线性表示