Question

在正方形ABCD中，P是BD上一点，过P引PE垂直BC交BC于E，过P引PF垂直CD于F，求证：AP垂直EF

Answer 1

证明：
延长FP交AB于点G,得正方形BEPG,连PC,
所以∠AGP=∠GPE=90,PE=PG=BG,
所以AB-BG=FG-PF
即AG=FP
在矩形PEFC中，对角线PC=EF,
因为P是正方形ABCD的对角线上的点，
所以AP=PC,
所以AP=EF
所以△APG≌△FEP(SSS)
所以∠APG=∠FEF,
因为∠EPG=90，
所以∠APG+∠EPH=90，
所以∠PEH∠EPH=90
即AP⊥EF

Answer 2

证明:延长FP,交AB于M.
∵PF⊥CD,PE⊥BC,∠FCE=90°.

∴PM⊥AB;四边形PECF为矩形.
连接PC,则⊿PFE≌⊿EPC,∠PFE=∠ECP.

点A和C关于BD对称(或⊿ABP≌⊿CBP),则∠MAP=∠ECP.
∴∠MAP=∠PFE;又∠APM=∠FPH(对顶角相等)

∴∠PHF=∠PMA=90度.(三角形内角和定理)

故AP垂直EF.

Answer 3

过P做PM垂直于AD，PN垂直于AB
显然PN=PE, PM=PF
所以tan角PAD=tan角EFC
即角PAD=角EFC
所以角AHF=360-(角PAD+90+180-角EFC)
=90
即AP垂直EF

追问

PN=PE, PM=PF　　　　　　　　　　　　　为什么？

追答

三角形PNB全等于三角形PEB

追问

全等的条件呢？

追答

角NBP=角EBP
PB=PB
角PBE=角PBN