Question

计算对弧长曲线积分∫xyds其中C为抛物线2x=y^2上由点A(1/2,-1)到点B(2,2)的一段弧

Answer 1

2x = y²，(1/2，- 1) → (0，0)；(0，0) → (2，2)
対于X型区间：
路径1：x = 1/2 → x = 0，y = - √(2x)，dy/dx = - 1/(√2√x)
路径2：x = 0 → x = 2，y = √(2x)，dy/dx = 1/(√2√x)
∫_(1) xy ds
= ∫(0→1/2) - x√(2x) * √[1 + 1/(2x)] dx
= ∫(0→1/2) - x√(1 + 2x) dx
= (1/15)[(3x - 1)(1 + 2x)^(3/2)] |(1/2，0)
= (1/15)(- 1 - √2)
= (- 1 - √2)/15
∫_(2) xy ds
= ∫(0→2) x√(2x) * √[1 + 1/(2x)] dx
= ∫(0→2) x√(1 + 2x) dx
= (1/15)[(3x - 1)(1 + 2x)^(3/2)] |(0，2)
= (1/15)[25√5 - (- 1)]
= (1 + 25√5)/15
原式∫c = ∫_(1) + ∫_(2)
= (- 1 - √2)/15 + (1 + 25√5)/15
= (25√5 - √2)/15
対于Y型区间：
只有一个路径：
y = - 1 → y = 2，x = y²/2，dx/dy = y
∫c xy ds = ∫(- 1→2) (y²/2) * y * √(1 + y²) dy
= (1/2)∫(- 1→2) y³√(1 + y²) dy
= (1/30)[(3y² - 2)(1 + y²)^(3/2)] |(- 1，2]
= (1/30)(50√5 - 2√2)
= (25√5 - √2)/15

Answer 2

把积分区间分为A(1/2,-1),C（1/2,1）B(2,2)这两段，然后根据奇偶性和对称性，容易知道xy是y的奇函数，所以在AC段的积分是0。剩下的直接用书上交给的方法就可以了（书上交了三种方法：一：极坐标形式 二：参数形式 三：参数形式的特殊形式 也就是x=x，y=f（x）这种形式）

Answer 3

因为2x=y^2，所以 dx=ydy，ds=(（dx）^2+(dy)^2)^1/2=(1+y^2)^1/2dy
所以 ∫xyds=∫1/2*y^2*y(1+y^2)^1/2dy 此积分为定积分(上限为2,下限为-1)
==∫1/2*y^3(1+y^2)^1/2dy 此积分为定积分(上限为2,下限为1)