Question

高数微分方程问题

方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解：1. y=cos2x-0.25xsin2x
2. y=sin2x-0.25xsin2x 求原微分方程。

答案中为什么说方程通解为y=C1cos2x+C2sin2x-0.25xsin2x ？？
怎么得出的啊？用了那条性质？

Answer 1

因为 y=cos2x-0.25xsin2x和y=sin2x-0.25xsin2x 是非其次线性方程的两个特解。
所以cos2x和sin2x是对应其次线性方程的两个特解，故方程对应的其次线性方程的通解y'=Ccos2x+C2sin2x
根据二阶常系数非齐次线性方程解的形式：对应的齐次线性方程的通解+该非其次方程的一个特解，所以通解为y=C0cos2x+C2sin2x+cos2x-0.25xsin2x=(C0+1)cos2x+C2sin2x-0.25xsin2x=C1cos2x+C2sin2x-0.25xsin2x

追问

为什么cos2x和sin2x是对应其次线性方程的两个特解呀？那-0.25xsin2x又是什么？麻烦给小弟讲讲啊~~~~

追答

如果y=b+a y=c+a是非其次线性方程的两个特解
那么b，c是对应其次线性方程的两个特解
而a可以理解为AX=a中的a

追问

这样看来a是每个特解中都有的一项。
如果y=b+a y=c+a是非其次线性方程的两个特解，那么b，c是对应其次线性方程的两个特解。
这句话就可以当做一个结论了是吧？

追答

如果y=b+a y=c+a是非其次线性方程的两个特解，那么b，c是对应其次线性方程的两个特解
这个你可以记住。