Question

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别是AB、AC的中点，且∠EDF=½(∠B+∠C).

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别是AB、AC的中点，且∠EDF=½(∠B+∠C). 求证：BC=½(AB+AC).

Answer 1

此题要作辅助线，图如下：

 

 

 

追问

能给出过程吗?

追答

连接EF，过点D分别作DG⊥AB、DH⊥AC
∴∠DGA＋∠DHA=180°
∴点A、G、D、H四点共圆
∵圆周角∠DGA和∠DHA都是直角
∴AD为直径
∵点E、F分别是AB和AC的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴点O是AD的中点
即OD为圆的半径
∵圆和BC的交点只有点D
∴BC是圆的切线且点D为切点
∴OD⊥BC
∵AD平分∠BAC
∴△ABD≌△ACD（ASA）
∴∠B=∠C，AB=AC
∵△ABD和△ACD都是直角三角形，且点E、F为中点
∴BE=DE=DF=CF
∴∠B=∠BDE=∠CDF=∠C
∵∠EDF=½(∠B+∠C)
∴∠EDF=½(∠B+∠B)=∠B
∴∠EDF=∠BDE=∠CDF
∵∠EDF+∠BDE+∠CDF=180°
∴∠EDF=∠BDE=∠CDF=60°
∴△EBD、△FCD、△ABC都是等边三角形
∴BC=½(AB+AC)

过程当中有些容易证的结论我直接给出，如有疑问或难理解的地方，请Hi我，望接纳，谢谢！

Answer 2

没做出来，需要证明∠BDE=∠BED

Answer 3

亲爱的楼楼。等着我哦，我已经把这道题上交数学老师了，大概明天就会有消息了。不过还是弱弱的问一下，楼楼的题目有没有少条件啊？？？

追问

条件齐了

追答

好吧，但愿我们数学老师能想出来！楼主不要急，我陪你一起等！

还有，楼楼这是几年级的题目？？？

这位大神证出来了！不过，显然不是初一的知识！至少偶是看不懂了，晕

追问

什么是旁心?老师没教，不明白！

追答

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。

参考资料： http://zhidao.baidu.com/question/287767605.html

Answer 4

因为∠EDF=½(∠B+∠C)所以三角形为等边三角形，所以BC=½(AB+AC).

追问

做任务的?

Answer 5

先问一下，这是初中题，还是高中题

Answer 6

感觉少了条件啊，楼主。

追问

条件齐了

Answer 7

不妨设∠B<∠C。
过E点做AD的垂线EG交AC于G点，连接ED、DG、EG、EF，由于AD为∠A的平分线，所以AD⊥EG并且平分EG，所以△EDG为等腰△，所以∠EDA=∠ADG，所以∠EDA-∠ADF=∠ADG-∠ADF=∠FDG①
∠FEG=∠AEG-∠AEF=(90°-∠A/2)-∠AEF②
由于E点为AB的中点、F为AC的中点，所以EF//BC，∠AEF=∠B代入②式得：∠FEG=90°-∠A/2-∠B=90°-(180°-∠B-∠C)/2-∠B=(∠C-∠B)/2③
∠DEG=90°-∠EDA，∠DFC=∠A/2+∠ADF，所以：∠DEG-∠DFC=90°-∠EDA-∠A/2-∠ADF=90°-(180°-∠B-∠C)/2-(∠EDA+∠ADF)=(∠B+∠C)/2-∠EDF，由已知条件：∠EDF=(∠B+∠C)/2④得： ∠DEG-∠DFC=(∠B+∠C)/2-∠EDF=0，所以∠EDG=∠DFC，所以E、D、G、F四点共圆，所以∠FDG=∠FEG，所以由①③式得∠EDA-∠ADF=(∠C-∠B)/2⑤，
④式可变为：∠EDA+∠ADF=(∠C+∠B)/2⑥
所以由⑤⑥式得∠EDA=∠C/2⑦ ∠ADF=∠B/2⑧
所以∠FDC=∠ADC-∠ADF=∠B+∠A/2-∠B/2=(∠A+∠B)/2，∠CFD=∠A/2+∠ADF=(∠A+∠B)/2，
所以∠FDC=∠CFD，DC=FC⑨
另外∠EDB=∠ADB-∠EDA=∠A/2+∠C-∠C/2=(∠A+∠C)/2，∠BED=∠A/2+∠EDA=(∠A+∠C)/2，所以∠EDB=∠BED，所以BD=EB⑩，
由⑨⑩二式得：BC=BD+DC=EB+FC=AB/2+AC/2 即BC=(AB+AC)/2(证毕)

追问

过E点做AD的垂线EG交AC于G点，连接ED、DG、EG、EF，由于AD为∠A的平分线，所以AD⊥EG并且平分EG，所以△EDG为等腰△，````````

"并且平分EG" 为何平分？

追答

等腰三角形底边上的高平分底边和顶角