Question

函数f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是定义在（-1，1）上的奇函数且f(1/2)=2/5. 用定义证明f(x)在（-1，1）上是增函数

Answer 1

解：由题可知，y=f(x)在(-1，1)上为奇函数
所以f(0)=0，即：b=0
于是y=a*x/(1+x^2)
又f(1/2)=2/5，所以a=1
所以y=x/(1+x^2)
奇函数在定义域上具有相同的点调性，所以只需要证明在任意一对称区间上就可以了。
我们现在选择x在(0，1)上
令：0<x1<x2<1
则f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)=(x1-x2)*(1-x1*x2)/((1+x1^2)*(1+x2^2))
由于0<x1<x2<1
所以f(x1)-f(x2)<0
故：y=f(x)在(0,1)上为增函数
即：y=f(x)在(-1,1)上为增函数

如果有误，请指正。
谢谢！