Question

向量空间的基及维数

向量空间W=｛（x,y,z）｜x+y-2z=0｝,如何确定求出它的一组基，求机算过程。另外，同一空间不同基的向量个数是否相等，如何证明？

Answer 1

此题就是求只有一个方程的齐次线性方程组 x+y-2z=0 的基础解系。
将y,z作为自由变量, 令y=1,z=0, 解得 x=-1，即得到一组解 (-1,1,0)
令y=0,z=1, 解得 x=2，即得到另一组解 (2,0,1)
这两组解合起来，就是方程 x+y-2z=0 的一组基础解系，也就是空间W的一组基。
至于同一个空间基的个数相同，就是线性代数里，有一章讨论，线性相关，无关，极大无关组，秩等概念的目的。如果你学过这些，那不用证明，如果没学过，那没法跟你说明白。

追问

为什么这样算得的两解就是此空间的一组基，有什么公式原理依据吗？

追答

W就是方程组x+y-2z=0的解空间，所以方程组的基础解系就是W的基。

追问

我知道此空间的基是二维的，为什么这样算的的两个解就是基础解系，即能表出任何空间里的解，求一般公式原理解释

追答

自己翻书去，齐次线性方程组解的结构一节。

Answer 2

如果你不明白那个基础解为什么能够表示出所有解的话，就想想直角坐标系里面是不是所有的线段都可以用x轴和y轴上的单位向量表示出来，就行了的，这个证明就没有必要了

希望对你有所帮助