Question

已知函数f(x)=lg[(a^2-1)x^2+(a+1)x+1],若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围

你的回答：见http://zhidao.baidu.com/question/31815195.html因为f(x)的值域为R，则(a^2-1)x^2+(a+1)x+1必须能够取遍所有正实数，
即（0，＋无穷）必须是函数y＝(a^2-1)x^2+(a+1)x+1的值域的子集，
1）
当a^2-1＝0即a＝1或-1时
1°a＝1时，符合题意；
2°a＝-1时，不符合题意。
2）
当a^2-1不等于0时
a^2-1＞0且△≥0，
解得1＜a≤5/3
综上所得，a的范围是1≤a≤5/3我有不明白的地方：当a^2-1＞0且△≥0时，[(a^2-1)x^2+(a+1)x+1]会取到<0的值如取a=3/2(在1≤a≤5/3范围内）时，[(a^2-1)x^2+(a+1)x+1]的最小值是-1/4，此时真数<0了。这样可以吗？我哪里理解错误了？请解惑！非常感谢！

Answer 1

楼主的解法我不多说，f(x)的值域R说明（a^2-1)x^2+(a+1)x+1>0恒成立。
所以令g(x)=（a^2-1)x^2+(a+1)x+1
在求导即可，让g(x)的最小值大于0即可求出a的范围

追问

你的解法思路没有问题，但我还没有学导数。

追答

那就用二次函数根的分布知识来解，注意分类讨论

追问

请你看一下我的提问，就知道我的疑问了。谢谢！

追答

lz的思路是正确的，没有问题。我们只要保证真数恒>0，真数<0那是定义域的问题，也就是x的范围与a无关

追问

辛苦了！在本题中，g(x)=（a^2-1)x^2+(a+1)x+1。开口向上，⊿=0时g(x)取到>=0的值，这个没有问题；当取⊿>0时，g(x)就会取到0，真数<0那是定义域的问题，也就是x的范围与a无关”这句话，能再讲解一下吗？
加你30分，略表谢意！谢谢！

追答

此题问的是a的取值范围，我们解出来的也是a的范围。这个a的范围保证了f(x)的值域是R，但是平没有保证定义域，所以二次函数图像有一段小于零是正常的。那只定义域的问题。

Answer 2

2

追问

有意思吗？